ОБЕЗРАЗМЕРИВАНИЕ ДАННЫХ
Рассмотрим очень полезный прием, чрезвычайно популярный в физическом моделировании, называемый обезразмериванием. При решении конкретных задач мы пользуемся определенной системой единиц (СИ), в которой далеко не все числовые значения лежат в удобном диапазоне. Кроме того, абсолютные значения величин дают мало информации для качественного понимания. Скорость 15 м/с - много это или мало? Все дело в том, по сравнению с чем. Именно в сравнении с чем-то привычным и понятным мы обычно и воспринимаем слова «много» и «мало», даже если делаем это бессознательно. Идея обезразмеривания заключается в переходе от абсолютных значений расстояний, скоростей, времен и т.д. к относительным, причем отношения строятся к величинам, типичным для данной ситуации. В рассматриваемой задаче это особенно хорошо просматривается. В самом деле, при отсутствии сопротивления воздуха мы имеем значения l, h, t, определенные выше; сопротивление воздуха изменит характер движения, и если мы введем в качестве переменных величины
безразмерные расстояния по осям и время, - то при отсутствии сопротивления воздуха эти переменные будут изменяться в диапазоне от 0 до 1, а в задаче с учетом сопротивления отличия их максимальных значений от единицы ясно характеризуют влияние этого сопротивления. Для скоростей естественно ввести безразмерные переменные, соотнося проекции скорости на оси x и у с начальной скоростью v0:
Покажем, как перейти к безразмерным переменным в одном из наших уравнений, например, во втором уравнении системы, характеризующий полет тела под углом. Имеем:
(так как постоянный множитель можно вынести за знак производной). Подставляя это в уравнение, получаем
или
Подставляя
получаем
где безразмерные комбинации параметров, входящих в исходные уравнения,
После выполнения обезразмеривания во всех уравнениях полученной на прошлом уроке системы получим
Начальные условия для безразмерных переменных таковы:
Важнейшая роль обезразмеривания - установление законов подобия. У изучаемого движения есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в уравнения системы или являющихся для них начальными условиями: k1, k2, m, g, v0, а. После обезразмеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров - в данном случае a, b, ? - фактически определяющие характер движения. Если мы изучаем два разных движения с разными размерными параметрами, но такие, что а, b и ? одинаковы, то движения будут качественно одинаковы. Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров (в данном случае вдвое), что также создает удобство при полном численном исследовании всевозможных ситуаций, связанных с этим процессом. Наконец, как уже отмечалось, величины Vx, Vy, X, Y, ? физически легче интерпретировать, чем их размерные аналоги, так как они измеряются относительно величин, смысл которых очевиден. Прежде чем предпринимать численное моделирование, отметим, что при учете лишь линейной составляющей силы сопротивления модель допускает аналитическое решение. Полученная система уравнений при b = 0 достаточно элементарно интегрируется и результаты таковы:
Исключая из двух последних формул время, получаем уравнение траектории:
Заметим, что эта формула не из тех, которые привычно визуализируются, и здесь компьютер может быть полезен в том, чтобы составить ясное представление о влиянии линейной части силы сопротивления на изучаемое движение.